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姓名座位号(在此卷上答题无效)数学(理科)本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x01”的n12A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22xy5.已知双曲线C:-=1(a>0)的焦距为4,则C的渐近线方程为2a3213915A.y=±3xB.y=±xC.y=±xD.y=±x71356.在北京冬奥会期间,云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出圈.比赛期间,每场比赛观众到场后,“冰墩墩”都会走上看台,结合现场的舞蹈表演、互动游戏,通过舞动肢体,做出各种可爱的造型,活跃现场气氛.云顶滑雪公园设置了3个“结束区”,共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员,每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演,则可能的安排方式种数为A.18B.36C.72D.576【G-022】数学(理科)试卷第1页(共4页),7.正方体ABCD-ABCD中,点M在棱DD上,过点C作平面BMC的平行平面α,记平面α与平面111111BCCB的交线为l,则AC与l所成角的大小为111ππππA.B.C.D.6432x-x+21=0,x+log=0,33-log=0,则8.已知xxx122223A.x0C.3a+b<0D.a+b>1ab二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量a,b满足:a=5,(a+2b)⊥a,则a·b=.14.已知等差数列{a}和公比q≠1的等比数列{b}满足:b=2a=2,a+a=b,a+a=b,则a+b+a+nn11122233123b+…+a+b=.491015.某校年度排球赛中,先进行小组赛,每组胜出的队伍进入决赛争夺冠军.小组赛规则为:每小组三支球队,首先抽签决定第一局上场比赛的两支球队,第一局输的球队淘汰出局,获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛,第二局获胜的球队进入决赛.若A,B,C三个班级的球队分在同一个小组,每局比赛是相互独立的且不会产生平局,A队战胜B队的概率为0.3,B队战胜C队的概率为0.5,C队战胜A队的概率为0.6,则A队进入决赛的概率为(保留分数形式).16.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,CD∥AB,AB⊥AC,AB=2AC=2,F(P)465D(P)CCD=13,cos∠BCF=,则三棱锥P-ABC外接球表面积65BA为.E(P)第16题图【G-022】数学(理科)试卷第2页(共4页),三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)在△ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,且(sinA+cosA)(sinB+cosB)=2cosAcosB.(1)求∠C的大小;3-1(2)若△ABC的面积S≥,求角A的最大值.418.(12分)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查,样本调查结果如下表:甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率,并假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.(1)从两校高一学生中随机抽取1人,估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率;(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,以ξ表示这2人中使用AI作业的人数,求ξ的分布列和数学期望;(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”,用“X=0”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”,用“Y=1”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”,用“Y=0”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.直接写出方差DX和DY的大小关系.(结论不要求证明)19.(12分)P如图,圆锥PO的母线长为6,△ABC是☉O的内接三角形,平面PAC⊥Q平面PBC,BC=23,∠ABC=60°.(1)证明:PA⊥PC;AOB→→(2)设点Q满足OQ=λOP,其中λ∈(0,1),且二面角O-QB-C的大小C为60°,求λ的值.第19题图【G-022】数学(理科)试卷第3页(共4页),20.(12分)2已知抛物线E:y=2px(p>0),点P(2,22)在抛物线E上.(1)求抛物线E的准线方程;(2)过点Q(-2,0)的直线l与抛物线E交于A,B两点,直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N,记直线QM,QN的斜率分别为k,k,求证:k+k为定值.121221.(12分)a2已知函数f(x)=lnx+x-ax,a∈R.2(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f′(x)=f′(x)=0,且0
