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2012-2013学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题(3分×12=36分))1. 与 的等比中项是________.2.已知数列 的通项公式是 ,则 是该数列的第________项.lim 3. ________. 4.已知数列 的前 项和 ,则 ________. 5.等差数列 中,已知 , 是方程 的两根,则 ________. 6.根据如图的框图,写出打印的第五个数是________.7.已知一个等差数列前五项的和是 ,后五项的和是 t ,又各项之和是 ,则此数列共有________项.8.在等比数列 中,已知 , ,则该数列前 项的和 ________.9.“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增.共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”(选自明朝著名数学家吴敬《九章算法比类大全》),请算出诗中所述的尖头有________盏灯. 10.已知数列 满足 , ,则的最小值为________. 11.已知命题:若数列 为等差数列,且 , ㌳䁖 、 ,则 ㌳ ”,现已知等比数列 ㌳ 䁖㌳ ,㌳ ,㌳ ㌳䁖 、 ,若类比上述结论,则可得到㌳ ________. 试卷第1页,总6页
12.观察如图所示数表,根据数表中数的变化规律,请问数 在数表中出现的次数是________.二、选择题(3分×4=12分))13.如果数列 是一个以 为公比的等比数列,㌳ ,则数列 ㌳ 是()A.以 为公比的等比数列B.以 为公比的等比数列C.以 为公比的等比数列D.以 为公比的等比数列14.已知数列 的前 项和 ㌳ 䁖 、㌳、 ,则“ ”是“ 是等 差数列”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 䁖 15.用数学归纳法证明 ǤǤǤ 䁖 䁖 ǤǤǤ 时,从 从到 从 时,等式左边应添加的式子是䁖 A.䁖从 从 B.䁖从 从 C.䁖从 D.䁖从 ͳ 䁖从 䁕 16.对于数列,若存在常数 ,使得对任意 , 与 中至少有一个不小于 , 则记作 ,那么下列命题正确的是()A.若 ,则数列 各项均大于或等于 B.若 , ㌳ ,则 ㌳ C.若 ,则 D.若 ,则 三、解答题)17.已知等差数列 中, , 求 的通项公式及前 项的和 . 18.已知 为等比数列, , ,求 的公比 及其通项公式. 19.已知某小区的噪音平均值为 t分贝,随着人民生活水平的提高,小区内的车辆数逐渐增加,现物业公司准备对停车位进行扩建,规划扩建的停车位以 的整数倍计算.今测得小区每增加 辆车,噪音平均值将增加 ,若小区的噪音平均值超过 分贝,小区居民的生活质量将受到影响.试问为使小区居民的生活不受影响,物业公司最多能扩建多少个停车位?20.已知数列 满足条件䁖 䁖 䁖 ,且 ,(1)计算 、 、 ,请猜测数列 的通项公式并用数学归纳法证明;试卷第2页,总6页
lim (2)设㌳ 䁖 ,求䁖 的值. ㌳ ㌳ ㌳ 21.(文)已知数列 的前 项和为 , 且 ,数列 ㌳ 满 足㌳ 且 ㌳ ㌳ 䁖 且 . (1)求 的通项公式;(2)求证:数列 ㌳ 为等比数列;(3)求 ㌳ 前 项和的最小值.试卷第3页,总6页
参考答案与试题解析2012-2013学年上海市某校高二(上)期末数学试卷一、填空题(3分×12=36分)1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ㌳ 11. 12. 二、选择题(3分×4=12分)13.A14.C15.B16.D三、解答题17.解:由 得 䁕 䁕∵ 联立可得,䁕 则 䁖 䁕 t 䁕 18.解:由 , ,得 ,解得 或 . 当 时, ; 䁖 当 时, . 19.该物业公司最多能扩建t 个停车位.-------------------------------试卷第4页,总6页
20.解:(1)当 时, ,且 当 时, 䁖 ,当 时, 䁖 ,∴ t,…猜测 … 下面用数学归纳法证明:ⅰ当 , , , 时,等式 已成立… ⅱ假设当 从时, 从 从从从 则由䁖从 从 䁖从 䁖 从 ,有: 从 䁖从 䁖 从 从 从 从 䁖从 䁖从 即 从 时,等式也成立综上, 成立… (2)㌳ ∴㌳ 䁖 䁖 … ∴ 䁖 …㌳ lim lim ∴䁖 ͳ䁖 䁖 䁖 䁕 ㌳ ㌳ ㌳ lim 䁖 … t 21.解:(1)由 ,得 , , ǤǤǤ 分 ∴ 䁖 䁕 (2)证明:∵ ㌳ ㌳ ,∴㌳ ㌳ , ∴㌳ ㌳ ㌳ 䁖㌳ ; ㌳ ㌳ 䁖 ㌳ ; ㌳ ∴由上面两式得 ,又㌳ ㌳ ∴数列 ㌳ 是以 为首项,为公比的等比数列. (3)由(2)得㌳ 䁖 , 䁖 䁖 ∴㌳ , ㌳ ㌳ 䁖 䁖 䁖 䁖 䁖 䁖 ,∴ ㌳ 是递增数列 当 时,㌳ ;当 时,㌳ ; 试卷第5页,总6页
当 时,㌳ ;当 时,㌳ , 所以,从第 项起的各项均大于 ,故前 项之和最小. 且 䁖 . 试卷第6页,总6页