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2019-2020学年北京市某校高三(上)开学数学试卷(9月份)【附答案】

2021-11-241 9.99元 7页 47.35 KB
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2019-2020学年北京市某校高三(上)开学数学试卷(9月份)一、选择题:(共8小题;共40分))1.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=(    )A.[0, 1]B.(0, 1]C.[0, 1)D.(-∞, 1]2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负3.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则()A.12为f(x)的极大值点B.-2为f(x)的极大值点C.2为f(x)的极大值D.45为f(x)的极小值点4.α是第四象限角,cosα=1213,则sinα=()A.513B.-513C.512D.-5125.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a2<0,则a2+a3<0C.若0a1a3D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)<06.已知{an}中,an=n2+λn,且{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是()A.(-2, +∞)B.[-2, +∞)C.(-3, +∞)D.[-3, +∞)7.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120∘,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE→⋅BE→的最小值为(    )A.2116B.32C.2516D.3试卷第7页,总7页, 8.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(    )A.[-32e,1)B.[-32e,34)C.[32e,34)D.[32e,1)二、填空题(共6小题;共30分))9.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n=________.10.已知a→=(1,t),b→=(t,4),若a→//b→,则t=________.11.在等比数列{an}中,a1=12,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+...+|an|=________.12.设函数f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0),若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.13.定义在R上的函数f(x)=2ax+b,其中实数a,b∈(0, +∞).若对任意的x∈[-12,12],不等式|f(x)|≤2恒成立,写出满足条件的一组(a, b)的值________.14.甲、乙、丙三人一起进行羽毛球训练,每局两人比赛,另一人休息,三人约定每一局的输者下一局休息.训练结束时统计结果如下,甲共休息了2局,乙共打了8局,丙共打了5局,则这次训练的总局数为________;其中第9局比赛的两人是________三、解答题(共6小题;共80分))15.已知等差数列{an}满足a1=1,a5=a2+6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若{an}的前n项和为Sn,求数列{Snn}与数列{an}的前100项中的所有相同项的和.16.已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x.(1)写出函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,且02恒成立,求实数a的取值范围.19.已知f(x)=(ax2+ax+x+a)e-x(a≤0).(1)讨论y=f(x)的单调性;(2)当a=0时,若f(x1)=f(x2) (x1≠x2),求证x1+x2>2.20.已知数列{an}满足若a1>0,an+1=2an,01 .(1)若a6=43,求a4的值;试卷第7页,总7页, (2)是否存在n∈N*,使得若an+an+1=an+2成立?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由;(3)求证:若a1∈Q,则存在k∈N*,ak=1.试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高三(上)开学数学试卷(9月份)一、选择题:(共8小题;共40分)1.A2.A3.A4.B5.C6.C7.A8.D二、填空题(共6小题;共30分)9.1210.t=-2或t=211.-2,2n-1-1212.2313.(1, 1)14.11,甲和乙三、解答题(共6小题;共80分)15.设公差为d的等差数列{an}满足a1=1,a5=a2+6.所以a1+4d=a1+d+6,解得d=2.所以an=1+2(n-1)=2n-1.数列{an}的前n项和为Sn,Sn=1+3+5+...+(2n-1)=n(2n-1)2=n2,所以Snn=n2n=n,所以数列{Snn}与数列{an}的前100项中的所有相同的项为:1,3,5,7,…,99.故T=1+3+⋯+99=50(99+1)2=2500.16.f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12,∴T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).∴y的单调递增区间为[kπ-π3, kπ+π6](k∈Z).试卷第7页,总7页, ∵f(x)的图象关于直线x=x0对称,∴2x0+π6=kπ+π2,x0=kπ2+π6(k∈Z).∵02恒成立,即[h(x1)-2x1]-[h(x2)-2x2]x1-x2>0,令m(x)=h(x)-2x,则m(x)在(0, +∞)递增,故m'(x)=h'(x)-2=x+ax-2≥0恒成立,即a≥x(2-x)恒成立,因为x(2-x)=-(x-1)2+1≤1,所以a≥1,即a的取值范围是[1, +∞).19.由已知得:x∈R,f'(x)=-(ax+1)(x-1)ex,若a=0,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞, 1)递增,在(1, +∞)递减,若-11,∴f(x)在(-∞, 1)与(-1a, +∞)试卷第7页,总7页, 递增,在(1, -1a)递减,若a=-1,f'(x)≤0,∴f(x)在R递减,若a<-1,时,则-1a<1,∴f(x)在(-∞, -1a)与(1, +∞)递增,在(-1a, 1)递减,综上:若a=0,f(x)在(-∞, 1)递增,在(1, +∞)递减,-12,只需证明 x1>2-x2,由f(x)在(-∞, 1)递增,即证f(x2)>f(2-x2),即证2-x2e2-x2(2-x2)e2x2-2,令g(t)=t-(2-t)e2t-2(t>1),g'(t)=1+(2t-3)e2t-2,g″(t)=(4t-4)e2t-2>0,∴g'(t)在(1, +∞)递增,g'(t)>g'(1)=0,∴g(t)在(1, +∞)递增,g(t)>g(2)=0,∴g(t)在(1, +∞)上恒大于0,即x2>(2-x2)e2x2-2,即x1+x2>2.20.∵a6=43,∴2a5=43,解得:a5=23.∴2a4=23或1-1a4=23,解得a4=13或3.假设存在n∈N*,使得若an+an+1=an+2.①若an∈(0, 12],则an+1=2an,an+2=4an,于是an+2an=4an,解得an=0,舍去.②若an∈(12, 1],则an+1=2an,an+2=1-12an,于是an+2an=1-12an,无解,舍去.③若an∈(1, +∞),则an+1=1-1an,an+2=2(1-1an),于是an+(1-1an)=2(1-1an),无解,舍去.综上可得:假设不成立,即不存在n∈N*,使得若an+an+1=an+2.试卷第7页,总7页, 证明:①若a1=1,则a2=2,a3=1-12=12,a4=1,……,可得存在n=3k-2,使得a3k-2=1,k∈N*.②由①可得:a1=2,12时,都存在k∈N*,ak=1.③若a1∈Q,a1≠1,2,12时.若a1>1,由an+1=1-1an,可以转化为03,分母总可以转化为3.例如:a1=15,a2=25,a3=45,a4=85,a5=38,a6=34,a7=32,a8=13,不妨设a1=13,则a2=23,a3=43,a4=14,a5=12,a6=1.综上可得:存在k∈N*,ak=1.试卷第7页,总7页
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