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湖南省三湘名校、五市十校教研教改共同体2022届高三数学上学期第一次大联考试卷(附解析)

2021-11-061 9.99元 14页 1.02 MB
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绝密★启用前2022届高三第一次大联考数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。4.命题范围:侧重函数与导数、三角函数、平面向量、数列、立体几何共占80%,其他占20%。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2},B={x|(x-1)(x-4)≤0},则A∩B=A.1,2B.{1,2}C.2D.{2}2.已知f(x)=x3+(a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取值范围是A.[0,1]B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.[0,2]D.(-∞,0]∪[2,+∞)3.已知向量m=(3,5),n=(9,7),则A.m⊥nB.m//nC.m//(m+n)D.(2m-n)⊥(m+n)4.已知0<θ<,设a=sinθ,b=cosθ,c=tanθ,则a,b,c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b5.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则“a>b>c”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知f(x)是R上的奇函数,f(1+x)=f(1-x),当x1,x2∈[0,1],且x1≠x2时,>0,则当-3≤x≤1时,不等式xf(x)>0的解集为A.[-1,0)∪(0,1]B.[-3,-2)∪(0,1]C.(-2,-1)∪(0,1]D.(-2,0)∪(0,1],7.已知球O的半径为2,三棱锥P-ABC四个顶点都在球O上,球心O在平面ABC内,△ABC是正三角形,则三棱锥P-ABC的最大体积为A.3B.2C.D.38.如图是古筝鸣箱俯视图,鸣箱有多根弦,每根弦下有一只弦码,弦码又叫雁柱,用于调节音高和传振。右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图。在直观图中,每根弦都垂直于x轴,左边第一根弦在y轴上,相邻两根弦间的距离为1,弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y=1.1x,第n(n∈N,第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l:y=x+1交于点An(xn,yn)和Bn(x'n,y'n),则参考数据:1.122=8.14A.814B.900C.914D.1000二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.给出8个函数:①y=2x,②y=()x,③y=log2x,④y=log0.5x,⑤y=x2,⑥y=,⑦y=sinx,⑧y=tanx。下列说法正确的是A.定义域是R的函数共有6个B.偶函数只有1个C.图象都不经过第三象限的函数共有6个D.满足f(x+2π)=f(x)的函数只有2个10.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图,将该函数的图象向x轴负方向平移个单位,再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象。下列结论正确的是,A.当≤x≤时,f(x)的取值范围是[-1,2]B.f(-)=C.曲线y=f(x)的对称轴是x=kπ+(k∈Z)D.若|x1-x2|<,则|f(x1)-f(x2)|<411.已知数列{an}各项均是正数,a4,a6是方程x2-4x+a=0(0a,,求sinA。18.(12分)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn--,a1=-1。(1)求证:{2nSn+2n}是等差数列;(2)若{an}中,只有三项满足λ≤an,求实数λ的取值范围。19.(12分)随着应用型芯片不断使用7nm,甚至5nm技术,软件升级加快,电子产品更新换代周期在缩小。某手机专卖店对本店一直专卖的A,B两款手机进行跟踪调查。随机抽取了几年前本店同期售出的两款手机各20台,它们的使用时间(单位:年)如下表:(1)在这40台手机中,A,B,两款手机各随机抽取一台,将频率视为概率,求这两台手机使用时间都不超过4年的概率;(2)在这40台使用时间超过3年的手机中随机抽取3台,这3台手机中使用4年的台数为X,求X的分布列和数学期望E(X)。20.(12分)如图,已知E是平面ABCD外一点,,,AB⊥AD,AB⊥AE。(1)四点C,D,E,F在同一平面内吗?说明理由;(2)若∠DAE=,AB=BC=2BF,求平面AFC与平面BCE所成锐二面角的余弦值。21.(12分)如图,已知F是椭圆C1:的左焦点,A是C1的上顶点,直线AF与C1的另一个交点为B,点C与B关于y轴对称。|FB|+|FC|=2,C1的离心率为。(1)求椭圆C1的方程;(2)二次曲线C2:y=tx2经过P(-1,2),直线l//AB与C2相交于M,N不同两点,P∉l,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2。求k1+k2的值。22.(12分)已知函数f(x)=xln(x+1)-ax2(a∈R),g(x)=ln(x+1)+-2x。(1)求函数g(x)的单调区间;(2)讨论函数f(x)的极值点个数。数学参考答案,1.【答案】B【命题意图】考查集合的表示法,集合的基本运算.考查数学运算数学核心素养.【解析】集合,∴.2.【答案】C【命题意图】考查导数,函数极值,二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系.考查数学运算数学核心素养.【解析】由得,根据题意得,解得.3.【答案】D【命题意图】考查等差数列,平面向量,向量运算,平面向量的平行与垂直.考查数学运算数学核心素养.【解析】由条件得,,∴,,故选D.4.【答案】C【命题意图】考查简单不等式,三角函数的单调性与最值.考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养.【解析】∵,∴,又函数在区间上单调递减,,函数在区间上单调递增,,∴,即,故选C.5.【答案】A【命题意图】考查充要条件,不等式性质,函数零点,二次函数零点存在条件.考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养.【解析】一方面,若,,则,.∴,∴函数有两个零点,∴“”是“函数有两个零点”的充分条件.另一方面,若,,,则函数有两个零点,但不满足,即“”不是“函数有两个零点”的必要条件.6.【答案】D【命题意图】考查抽象函数,函数的奇偶性、对称性、周期性,不等式解集.考查数学运算,逻辑推理,直观想象等数学核心素养.【解析】∵当,且时,,∴在区间上是增函数.∵是上的奇函数,∴,且在区间上是增函数.∴当时,,当时,.∵,∴的图象关于直线对称,∴,且在区间上是减函数.又,∴,即函数的周期为.∴是区间上的减函数,且.综上所述,不等式,的解集为.7.【答案】B【命题意图】考查球,多面体体积.考查直观想象,数学运算等数学核心素养.【解析】由于球的半径为,是正三角形,所以,∴,∴三棱锥的最大体积为.8.【答案】C【命题意图】考查一次函数,指数函数,等差数列,等比数列,数列错位相减求和,数学文化.考查数学运算,直观想象,数学建模等数学核心素养.【解析】由条件可得,∴,得.∵,∴.9.【答案】BCD【命题意图】考查函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性、值域等基本性质,初等函数,分类讨论思想.考查数学运算,直观想象,逻辑推理等数学核心素养.【解析】这个函数中定义域均为的函数是,共个,∴A错误.只有是偶函数,∴B正确.这个函数的图象不经过第三象限,这两个函数图象都经过第三象限,∴C正确.这个函数中,满足的函数只有,故D正确.10.【答案】AD【命题意图】考查函数图象变换,正弦型函数图象性质,三角函数诱导公式.考查数学抽象,数学运算,直观想象,逻辑推理等数学核心素养.【解析】由图可知,,,∴.,由于,∴.∴函数的解析式是.根据题意,.∴当时,的取值范围是,A正确.,∴B错误.函数的对称轴是,,∴C错误.∵的最小正周期为,∴D正确.11.【答案】AC【命题意图】考查等差等比数列及其简单性质,公差,公比.考查数学运算,逻辑推理等数学核心素养.【解析】由条件得,.如果是等差数列,则,,∴,所以A正确.又,∴数列公差满足,故B错误.如果是等比数列,由得,∴,∴,即,∴,故C正确.由条件,与是确定的(与有关),数列是确定数列,∴与是确定值,不存在最小的问题,∴D错误.(或由已知得,由于,所以,即数列的比公不为,∴,∴在不等式中,等号不成立,故D错误.)12.【答案】ACD【命题意图】考查空间想象能力,空间点、线、面的位置关系,分类讨论思想.考查直观想象,逻辑推理等数学核心素养.图二图一【解析】将这两个四棱锥的底面完全重合,得到如图一的几何体,其中平行的棱分别是,,,,,.∴A正确.如果这个几何体所有顶点都在一个球上,则点,到平面的距离与正方形对角线的一半都等于球的半径.设的中点为,则平面,由于,∴,又,∴,∴B错误.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合,得到如图二的几何体.分别设四棱锥的底面正方形的边与的中点为,,分别连接,,.∵,∴,∴.∵,,∴.∴,即.,是平面内两条相交直线,∴平面.同理,平面.∴平面与平面重合.∴共有平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面个平面.∴C正确.由上可知,是二面角的平面角,且,即二面角等于.∴二面角等于,∴二面角为直二面角,∴平面平面.∴D正确.13.【答案】【命题意图】考查空间直线的位置关系,异面直线所成角.考查直观想象数学核心素养.【解析】分别设棱,,的中点为,,,则是正三角形,且,,,∴等于异面直线与所成的角,大小为.14.【答案】【命题意图】考查圆,平面向量,向量的数量积,向量的坐标表示,向量的基本运算.考查直观想象,数学运算,逻辑推理等数学核心素养.xyO2113【解析】设,则,且.又,,∴.15.【答案】【命题意图】考查分段函数,定义域,对数的性质,轴称性,函数的值域,数形结合思想.考查直观想象数学核心素养.【解析】函数的零点,就是曲线与直线交点的横坐标,如图所示.不妨设四个零点从小大到依次为,,,,则,∴.又,∵,∴的取值范围是.所以,这四个零点积的取值范围是.16.【答案】【命题意图】考查球的表面积,解三角形.考查数学运算,直观想象,逻辑推理等数学核心素养.【解析】设半球半径为,则,∴,∴.在中,由正弦定理得,∴,.17.【命题意图】考查三角简单的恒等变换,正余定理在解三角形中的应用,内积.考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养.【解析】(1)∵,∴在中,由正弦定理得,,………………2分∴.…………………………………………………………………………3分∵,,是的内角,∴,∴,所以,.…………………………………………………………………………………………5分(2)选择①.∵,∴,即,∴.………………………………6分∵,∴,.…………………………………………………………………………7分在中,由余弦定理得,.………8分,在中,由正弦定理得,.………………………………………10分(2)选择②.∵,∴,即,∴.………………………………6分在中,由余弦定理得,,∴.…………………………………………………………………………………………8分∵,∴.在中,由正弦定理得,.………………………………………10分(2)选择③.∵,∴,即,∴.………………………………6分在中,由余弦定理得,,∴.…………………………………………………………………………………………8分∵,∴.在中,由正弦定理得,.………………………………………10分18.【命题意图】考查等差数列,数列前项和与通项的关系,数列的单调性,数列的最大项,恒成立.考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养.【解析】(1)证明:∵,∴,∴.………………………………………………………………4分∵,……………………………………………………………………………5分所以,是以为首项,以为公差的等差数列.………………………………………6分(2)由(1)可知,,∴.……………………………………………………………………………………7分,当时,,∵,所以,的通项公式为.…………………………………………………8分∴,,,,,.当时,,即,也就是说,数列从第项起,是递减数列.所以,实数的取值范围是.………………………………………………………………12分19.【命题意图】考查古典概型,独立事件发生的概率,互斥事件概率,分布列,数学期望.考查数学建模和数学运算等数学核心素养.【解析】(1)设“抽取的一台A款手机的使用时间不超过年”,“抽取的一台B款手机的使用时间不超过年”,“这两台手机使用时间都不超过年”,则事件、相互独立,且.由表可知,,………………………………………………………4分∴,即这两台手机使用时间都不超过年的概率为.…………………………………………………6分(2)这台手机中使用时间超过年的有台,从中随机抽取台,共有种不同结果,其中使用年的手机台.…………………………………………………………………………………7分∴.∴,,,.∴的分布列为:0123…………………………………………………………10分∴.………………………………………………12分,20.【命题意图】考查空间点线面之间的位置关系,线线、线面、面面平行及垂直的性质和判定.考查二面角,坐标法解决几何问题.考查数学直观,逻辑推理等数学核心素养.【解析】(1)分别设线段,的中点分别为,,分别连接,,.…………………………………………1分∴.∵,,∴,,∴四边形和四边形都是平行四边形.…………3分∴,,,,∴,,即四边形是平行四边形,……………………………………5分∴,∴.所以,四点,,,在同一平面内.………………………………………………………6分(2)∵,,与是平面内两相交直线,∴平面.分别以直线,为轴和轴,以过点垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直线坐标系.……………………………………………………………………………7分设,由于,,所以,,,,.………………………………………………………………………8分∴,,,.…………………9分设和分别是平面和平面的一个法向量,则,,,,∴不妨取,得,,,∴.所以,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………………12分21.【命题意图】考查椭圆,抛物线,圆锥曲线与直线的位置关系,斜率,直线方程.考查数形结合思想,转化化归思想,函数方程思想.考查数学运算,逻辑推理,数学抽象等数学核心素养.【解析】(1)设椭圆的右焦点为,由于,关于轴对称,∴.∵,∴,∴.…………………………………2分,∵椭圆离心率为,∴,∴.…………………………………………………3分∴.……………………………………………………………………………………4分所以,椭圆的方程为.…………………………………………………………………5分xyOFABCPMN(2)由(1)得,,∴直线的斜率为.∵,∴可设直线的方程为.………7分∵二次曲线:经过,∴,即二次曲线的方程为.……………………………………………………8分设,.由方程组得.∴,.………………………………10分又,,所以,.……………………………………………12分22.【命题意图】考查导数及其应用,极值,函数的零点,函数单调性.考查分类讨论思想,数形结合思想,转化化归思想,函数方程思想.考查数学运算,逻辑推理,数学抽象等数学核心素养.【解析】(1)∵,∴,且.…………………………………………………………3分当时,,是增函数;当时,,是减函数.……4分所以,函数的增区间是,减区间是.…………………………………………5分(2)函数定义域为.,∴.……………………………6分①当时,,是单调增函数.,∵,∴若,则,是单调减函数;若,则,是单调增函数.∴函数有唯一的极值点,而且是极小值点.………………………………………………………7分②当时,由(1)知,,即,是定义域内的减函数,没有极值点.………………………………………………………………………………8分③当,且时,由于,,所以,有唯一零点,设为,若,则,是单调增函数;若,则,是单调减函数.∴.∵,∴,,∴当时,,当时,.∴.设,则.当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.∴.∴.∵若,当时,,∴.又,,∴,∴在区间上有唯一零点,该零点为函数的极小值点.由于,为函数的极大值点;若,曲线与直线在第一象限有且只有一个交点,设交点横坐标为,当时,,即,∴在上存在唯一零点,该零点为函数的极大值点.由于,此时为函数的极小值点.所以有两个极值点.……………………………………11分综上所述,当时,函数有一个极值点;当时,函数没有极值点,当且时,函数有两个极值点.…………………………………………………………………12分
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