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山西省怀仁市第一中学校2021届高三下学期一模文科数学试题 Word版含解析

2021-10-091 9.99元 16页 307.83 KB
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文科数学学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________评卷人得分一、选择题(共12小题,共60分)1.(5分)已知集合A={x|x-2≥0},B={0,1,2},则A∩B等于(  )A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}2.(5分)设z=+2i,则|z|等于(  )A.0B.C.1D.3.(5分)已知a=π0.2,b=logπ2,c=cos2,则(  )A.c0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BF∥OA,若·=0,则双曲线C的离心率为(  )A.B.C.D.29.(5分)2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln0.6≈-0.511,ln0.9≈-0.105)(  ) A.4B.5C.6D.710.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是(  )A.f(x+2)=f(x)B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y=f(x+1)是奇函数D.f(2-x)=f(x-1)11.(5分)已知三棱锥A-BCD的外接球为球O,△BCD是边长为3的正三角形,若三棱锥A-BCD体积的最大值为,则球O的体积为(  )A.πB.πC.100πD.64π12.(5分)若x∈[0,1]时,ex-|2x-a|≥0,则a的取值范围为(  )A.[-1,1]B.[2-e,e-2]C.[2-e,1]D.[2ln2-2,1]评卷人得分二、填空题(共1小题,共20分)13.(20分) 13.已知单位向量a,b满足(a+b)⊥(a-2b),则a与b的夹角为________.14.若loga4b=-1,则a+b的最小值为________.15.已知直线y=kx与函数f(x)=lnx的图象相切,则k=________.16.声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+sin2x,则下列结论正确的是________.(填序号)①2π是f(x)的一个周期;②f(x)在[0,2π]上有3个零点;③f(x)的最大值为;④f(x)在上是增函数.评卷人得分三、解答题(共7小题,共80分)14.(12分)已知各项都不相等的数列{an}满足an+2=3an+1-2an.(1)证明:数列{an+1-an}为等比数列;(2)若a1=1,a2=3,求{an}的通项公式.15.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=,AB=2,EF∥AC,EA=ED=,BE=.(1)求证:平面EAD⊥平面ABCD;(2)求三棱锥F-BCD的体积.16.(12分)中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在[20,60]内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格: (1)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关;(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出2名参与电视直播节目,求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率.附:K2=,n=a+b+c+d.17.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于M,N两点,且|MN|=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2的直线l交椭圆C于A,B两点,若△ABF1内切圆的周长为π,求直线l的方程.18.(12分)已知函数f(x)=x2+2x+alnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.19.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,直线l 的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的单位长度,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,1),求|PA|+|PB|.20.(10分)[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-a|+2.(1)当a=2时,解不等式f(x)>5;(2)若对任意的x∈R,不等式|x-2|+|x-a|≤f(x)+2m2+4m(m>0)恒成立,求实数m的取值范围. 1.【答案】C【解析】A={x|x≥2},B={0,1,2},则A∩B={2}.2.【答案】C【解析】z=+2i=+2i=-i+2i=i,所以|z|=1.3.【答案】A【解析】a=π0.2>π0=1,∵1<2<π,∴b=logπ2∈(0,1),∵<2<π,∴c=cos2<0,∴c0.5,前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.5×(x-2)=0.50-0.48,解得x=2.04.8.【答案】A【解析】如图,易知A, 直线BF的方程为y=(x-c),①直线OB的方程为y=-x,②联立①②得B,∵·=0,∴AB⊥OB,∴=⇒a2=3b2,又c2=a2+b2,∴c2=a2,∴e2==,∴e=.9.【答案】C【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,则vn=100×0.90n-1.由100×0.90n-1<60,得0.90n-1<0.6,则(n-1)ln0.90≈≈4.87,则n>5.87,故至少需要“打水漂”的次数为6.10.【答案】B【解析】在f(1-x)=f(1+x)中,把x换成1+x,得f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=f(-x);把x换成1-x,得f(1-(1-x))=f(1+(1-x)),即f(x)=f(2-x).根据f(-x)+f(x)=0,得f(x+2)+f(2-x)=0,在y=f(x)的图象上任取一点P(2+x,y),则y=f(x+2)=-f(2-x),即点P′(2-x,-y)在y=f(x)的图象上,而点P(2+x,y)和点P′(2-x,-y)关于点(2,0)对称,所以由点P的任意性,知函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称.11.【答案】A【解析】设三棱锥A-BCD的高为h,当球心O在三棱锥A-BCD的高线上时,三棱锥A-BCD的体积最大,此时××3×3×h=,解得h=9.设球O的半径为R,则(9-R)2+=R2,解得R=5,所以球O的体积为πR3=π.12.【答案】D 【解析】由题意得2x-ex≤a≤2x+ex对∀x∈[0,1]恒成立,令f(x)=2x-ex,g(x)=2x+ex,∵f′(x)=2-ex在[0,1]上单调递减,且f′(ln2)=0,∴f(x)在(0,ln2)上单调递增,在(ln2,1)上单调递减,∴a≥f(x)max=f(ln2)=2ln2-2,又g(x)=2x+ex在[0,1]上单调递增,∴a≤g(x)min=g(0)=1,∴a的取值范围为[2ln2-2,1].13.【答案】13.180°14.115.16.①②③【解析】13.由(a+b)⊥(a-2b),得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=-1-a·b=0,∴a·b=-1.设a与b的夹角为θ,则cosθ==-1,因此a与b的夹角为180°.14.由loga4b=-1得a=>0,即ab=,所以a+b≥2=1.(当且仅当a=b=时等号成立)15.设切点为(x0,lnx0),则k=f′(x0)=,所以切线方程为y-lnx0=(x-x0),即y=x+lnx0-1,所以lnx0-1=0,所以x0=e,所以k=.16.y=sinx的最小正周期是2π,y=sin2x的最小正周期是=π,所以f(x)=sinx+sin2x的最小正周期是2π,故①正确;当f(x)=sinx+sin2x=0,x∈[0,2π]时,sinx+sinxcosx=0,即sinx(1+cosx)=0,即sinx=0或1+cosx=0,解得x=0或x=π或x=2π, 所以f(x)在[0,2π]上有3个零点,故②正确;f(x)=sinx+sin2x=sinx+sinxcosx,f′(x)=cosx+cos2x-sin2x=2cos2x+cosx-1,令f′(x)=0,解得cosx=或cosx=-1,当x∈或x∈时,0,则f(x)在,上单调递增,当x∈时,-1≤cosx<,此时f′(x)≤0但不恒为0,则f(x)在上单调递减,则当x=时,函数f(x)取得最大值,为f=sin+sin=+=,故③正确,④错误.14.【答案】(1)证明 由an+2=3an+1-2an可得,an+2-an+1=2(an+1-an),(3分)因为各项都不相等,所以a2-a1≠0,{an+1-an}是公比为2的等比数列.(5分)(2)解 由(1)知{an+1-an}是公比为2的等比数列,且a2-a1=2,所以所以当n≥2时,an-an-1=(a2-a1)·2n-2=2n-1,an-1-an-2=2n-2,an-2-an-3=2n-3,…a2-a1=2,累加,得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,所以an=2n-1.(10分)当n=1时,21-1=1=a1满足上式,(11分)故an=2n-1.(12分)15.【答案】(1)证明 如图,取AD的中点O,连接EO,BO. ∵EA=ED,∴EO⊥AD.(1分)由题意知△ABD为等边三角形,∴AB=BD=AD=2,∴BO=,在△EAD中,EA=ED=,AD=2,∴EO==,(3分)又BE=,∴EO2+OB2=BE2,∴OE⊥OB,(4分)∵AD∩OB=O,AD⊂平面ABCD,BO⊂平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,又EO⊂平面EAD,∴平面EAD⊥平面ABCD.(6分)(2)解 由题意得S△BCD=S△ABD=AD·OB=×2×=.(8分)∵EF∥AC,∴点F到平面ABCD的距离等于点E到平面ABCD的距离为EO,∴VF-BCD=S△BCD·EO=××=.(12分)16.【答案】解 (1)由题意知,这600人中男性的人数为40+120+160+80=400,女性的人数为600-400=200,男性比较关注新能源汽车的人数为40×20%+120×60%+160×70%+80×60%=240,女性比较关注新能源汽车的人数为10×50%+70×70%+100×80%+20×80%=150,作出2×2列联表如下:(3分) K2=≈13.187>6.635,因此,在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关.(6分)(2)由(1)知采用分层抽样从600人中抽取6人,抽取的男性人数为400×=4,分别记为D,E,F,G,则抽取的女性人数为2,分别记为a,b.再从这6人中随机选出2人,总的基本事件有15个:{a,b},{a,D},{a,E},{a,F},{a,G},{b,D},{b,E},{b,F},{b,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G}.(8分)记“恰好有一名女性参与电视直播节目”为事件A,其包含的基本事件有8个:{a,D},{a,E},{a,F},{a,G},{b,D},{b,E},{b,F},{b,G}.(10分)所以P(A)=,即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为.(12分)17.【答案】解 (1)由题意可知e==.(1分)因为过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于M,N两点,且|MN|=,所以=.(3分)结合a2=b2+c2,解得a=,b=1,c=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(5分)(2)△ABF1内切圆的半径r==.(6分)由椭圆的定义,得△ABF1的周长为4a=4,(7分)则△ABF1的面积S=××4=.(8分)设点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则有S=|y2-y1|×2=,得|y2-y1|=,得(y2+y1)2-4y1y2=.(10分)设直线l的方程为my=x-1. 由消去x并整理,得(m2+2)y2+2my-1=0,Δ>0显然成立.则有y1+y2=-,y1y2=-,所以+=.整理,得20m4-m2-1=0,解得m=±.(11分)故直线l的方程为2x±y-2=0.(12分)18.【答案】解 (1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2x+2+=,(1分)因为函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,所以只需使f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间(0,1)上恒成立,(3分)即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在区间(0,1)上恒成立,解得a≥0或a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).(5分)(2)不等式f(2t-1)≥2f(t)-3,可化为2t2-4t+2≥alnt2-aln(2t-1),即2t2-alnt2≥2(2t-1)-aln(2t-1),(8分)记g(x)=2x-alnx(x≥1),易知t2≥2t-1,所以g(x)=2x-alnx(x≥1)是增函数.(10分)即g′(x)=2-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤2x在[1,+∞)上恒成立,故a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2].(12分)19.【答案】解 (1)由题意得得圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(3分)(2)设点A,B对应的参数分别为t1,t2,将代入(x-2)2+y2=4整理, 得t2+t-3=0,则(5分)又点P在直线l上,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==.(10分)20.【答案】解 (1)因为a=2时,不等式f(x)>5可变形为|x-2|+|2x+1|>5,采用分类讨论的方式:当x≥2时,x-2+2x+1>5,解得x>2;当-5,无解;当x≤-时,2-x-2x-1>5,解得x<-.故不等式的解集是∪(2,+∞).(5分)(2)不等式|x-2|+|x-a|≤f(x)+2m2+4m(m>0)可变形为|x-2|-|2x+1|≤2m2+4m(m>0),设g(x)=|x-2|-|2x+1|,则g(x)=故g(x)的最大值为g=,(7分)因为对于任意的x∈R,不等式|x-2|+|x-a|≤f(x)+2m2+4m(m>0)恒成立,所以2m2+4m≥,即4m2+8m-5≥0,解得m≥或m≤-,(9分)因为m>0,所以m∈.(10分)
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