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江苏省如皋中学2022届高三数学上学期期初测试试题(Word版附答案)

2021-09-091 9.99元 13页 932.60 KB
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数学期初练习一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率和它在y轴上的截距分别为()CA.,B.,C.,D.,2.双曲线的两个焦点为,,双曲线上一点到的距离为11,则点到的距离为()BA.1B.21C.1或21D.2或213.椭圆与关系为()DA.有相等的长轴长B.有相等的离心率C.有相同的焦点D.有相等的焦距4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为()cmA.B.C.D.【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同,可得两椭圆的离心率相同,由大椭圆长轴长为40cm,短轴长为20cm,可得焦距长为cm,故离心率为,所以小椭圆离心率为,小椭圆的短轴长为10cm,即cm,由,可得:cm,所以长轴为cm.故选:B.5.已知双曲线的中心为坐标原点,一条渐近线方程为,点在上,则,的方程为()BA.B.C.D.6.已知,,三点,且满足,则直线的斜率取值范围是()AA.B.C.D.【详解】设动点,因为,则,整理得动点得轨迹为:;设直线的方程为,即,所以圆心到直线的距离为,所以;7.根据圆维曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题:已知,分别是双曲线的左、右焦点,若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后,反射光线为射线AM,则的角平分线所在的直线的斜率为()A.B.C.D.解:由已知可得,在第一象限,将点的坐标代入双曲线方程可得:,解得,所以,,又由双曲线的方程可得,,所以,则,,所以,且点,都在直线上,又,所以,所以,设的角平分线为,则,所以直线的倾斜角为,所以直线的斜率为,故选:B.8.已知圆,过轴上的点存在圆的割线,使得,则的取值范围()A.B.C.D.【详解】由题意得圆的圆心坐标为,半径,如图所示:连接,交圆分别点,易证△∽△则,因为,故,,所以,又,所以,解得.故选:D.【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质,考查学生分析处理问题的能力,属于难题,解答时将问题灵活转化是关键.一、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符,合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()ADA.方程能表示平面内的任意直线直线;B.直线的倾斜角为;C.“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件;D.“直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件10.已知直线:与:相交于、两点,若为钝角三角形,则满足条件的实数的值可能是()ACA.B.1C.2D.4【详解】圆的圆心为,半径为,由于为等腰三角形,若该三角形为钝角三角形,则,设圆心到直线的距离为,则,则,整理可得,解得,且.所以.故选AC.11.已知椭圆的焦距为,焦点为、,长轴的端点为、,点是椭圆上异于长轴端点的一点,椭圆的离心率为,则下列说法正确的是()A.若的周长为,则椭圆的方程为B.若的面积最大时,,则C.若椭圆上存在点使,则D.以为直径的圆与以为直径的圆内切,【答案】ABD【分析】利用椭圆的定义求出椭圆的方程,可判断A选项的正误;确定点的位置,利用椭圆的离心率公式可判断B选项的正误;设点,由求得,由化简求得椭圆的离心率的取值范围,可判断C选项的正误;利用椭圆的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,的周长为,则,,即椭圆的方程为,所以A正确;对于B选项,当的面积最大时,点在短轴顶点处,又,所以在中,,所以B正确;对于C选项,设点,,,,因为点在椭圆上,则,可得,所以,,得,由于,可得,所以,,即,可得.因此,椭圆的离心率的取值范围是,C选项错误;对于D选项,设的中点为,设圆与圆的半径分别为、,则,则两圆的连心线的距离为,所以两圆内切,D正确.,故选:ABD.【点睛】结论点睛:圆与圆的位置关系:设圆与圆的半径长分别为和.(1)若,则圆与圆内含;(2)若,则圆与圆内切;(3)若,则圆与圆相交;(4)若,则圆与圆外切;(5)若,则圆与圆外离.12.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,椭圆的上顶点为,且,曲线和椭圆有相同焦点,且双曲线的离心率为,为曲线与的一个公共点,若,则()BCA.B.C.D.解:如图所示,设双曲线的标准方程为:,半焦距为.∵椭圆的上顶点为,且.∴,∴,∴.∴.不妨设点在第一象限,设,.∴,.∴.在中,由余弦定理可得:∴.两边同除以,得,解得:.∴,.故选:BC.,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程为________.4x+3y-13=0解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.14.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为.15.已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍,则双曲线的离心率的取值范围是.16.已知点是直线:上的动点,过点作圆:的切线,切点分别为,,则切点弦所在直线恒过定点___________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线过点,点是坐标原点(1)若直线在两坐标轴上截距相等,求直线方程;(5分)(2)若直线与轴正方向交于点,与轴正方向交于点,求的最小值及此时的直线方程.(5分)解(1)当过坐标原点时,方程为,即,满足题意;当不过坐标原点时,可设其方程为:,,;,综上所述:直线方程为:或;(2)的最小值为,此时直线方程为:18.疫情期间,作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息,王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域,如图,、分别是经过王阿姨家(点)的东西和南北走向的街道,且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向,以点O为坐标原点,、为x轴、y轴建立平面直角坐标系,已知健康检查点(即点)和平安检查点(即点)是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.(1)求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程;(6分)(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,需在育贤路(直线)上碰头见面,你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)?并给出理由.(6分)解:(1)易知,王阿姨负责区域边界的曲线方程为:李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向,设李叔叔家所在的位置为,离和距离相等故故即故故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(2)圆心关于的对称点为则有,解得联立与,可得交点为,答:王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点碰面,距离之和最近.19.已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称,求实数m的取值范围.(12分)解:由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0.①将线段AB中点代入直线方程y=mx+解得b=-.②由①②得m<-或m>.故m的取值范围为∪.20.如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点,另一圆与圆外切,且与轴及直线分别相切于、两点.(1)求圆和圆的方程;(6分)(2)过点作直线的平行线,求直线被圆截得的弦的长度.(6分)解:(1)由于与的两边均相切,故到及的距离均为的半径,则在的平分线上,同理,也在的平分线上,即三点共线,且为的平分线,∵的坐标为,∴到轴的距离为1,即的半径为1,,则的方程为,设的半径为,其与轴的切点为,连接、,由可知,,即.则,则圆的方程为;(2)由对称性可知,所求的弦长等于过点,直线的平行线被圆截得的弦的长度,此弦的方程是,即:,圆心到该直线的距离,则弦长=.考点:直线和圆的方程的应用.21.已知C为圆(x+1)2+y2=12的圆心,P是圆C上的动点,点M(1,0),若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹N的方程;(4分)(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A,B两点,且与圆O:x2+y2=2相交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.(8分)解:(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为2的椭圆,所以a=,c=1,b==,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由(1)可知,椭圆的右焦点为(1,0),①若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x=1,则A,B,E(1,1),F(1,-1),所以|AB|=,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=.②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).,联立可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|===.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d=,所以|EF|2=4=,所以|AB|·|EF|2=·==·=.因为k2∈[0,+∞),所以|AB|·|EF|2∈.综上,|AB|·|EF|2∈.22.已知双曲线:的焦距为,直线()与交于两个不同的点、,且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程;(2分)(2)若坐标原点在以线段为直径的圆的内部,求实数的取值范围;(4分)(3)设、分别是的左、右两顶点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求证:线段在轴上的射影长为定值.(6分)【答案】(1);(2);(3)证明见解析【分析】(1)求得双曲线的,由等边三角形的性质可得,的方程,结合,,的关系求得,,进而得到双曲线的方程;(2)设,,,,联立直线和,应用韦达定理和弦长公式,设的中点为,求得的坐标,由题意可得,应用两点的距离公式,解不等式可得所求范围;(3)求得,的坐标和的坐标,求得的垂直平分线方程和的方程,联立解得,的坐标,求出,即可得证.【详解】解:(1)当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,,又焦距为,则,解得,,则所求双曲线的方程为.(2)设,,由,得,则,,且,又坐标原点在以线段为直径的圆内,则,即,即,即,则,即,则或,即实数的取值范围.(3)线段在轴上的射影长是.设,由(1)得点,又点是线段的中点,则点,直线的斜率为,直线的斜率为,又,则直线的方程为,即,又直线的方程为,联立方程,消去化简整理,得,又,代入消去,得,即,则,,即点的横坐标为,则.故线段在轴上的射影长为定值.
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