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湖南师范大学附属中学2022届高三数学上学期入学考试试题(Word版附答案)

2021-09-091 9.99元 14页 1.61 MB
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湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位,复数满足,则()A.B.C.D.2.若抛物线上一点到焦点的距离为8,则()A.1B.2C.4D.83.已知、是全集的两个非空子集.若,则下列说法可能正确的是()A.B.C.D.4.如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史,它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算,其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器,表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例,解释算表的大致原理:①将22分为2和20;将35分为5和30;,②在算表第1行分别找到2和20;在算表第1列找到5和30;③分别在算表中找到2和5、30及20和5、30的交叉点所对应的数字;④将4个对应的数字相加,得.×21020510…10010………3060…600如果从现代数学体系来看,该计算方法所利用的公理是()A.加法交换律B.乘法分配律C.加法结合律D.乘法交换律5.若,则的值为()A.1或B.或C.或D.或6.已知随机变量,则下列说法不正确的是()A.若,则B若,则C.不论取何值,总成立D.根据“原则”,在一次试验中,事件“”几乎不可能发生7.已知数列,设:,,三项既是等差数列,又是等比数列;:是常数列.则是的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.设定义在上的连续偶函数满足,且当时,.若函数恰好有5个零点,则实数的取值范围是(),A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于一组样本数据,,…,,下列表达式中,能够刻画该组数据的离散程度的是()注:;和分别表示,,…,中的最大值和最小值.A.B.C.D.10.已知,,且,则()A.B.C.D.11.在正方体中,,点为正方形内部一点,点为棱中点,平面.则()A.异面直线和夹角的余弦值为,B.点和点到平面的距离相等C.正方体被平面截得的截面为等腰梯形D.三棱锥外接球的半径为12.在平面直角坐标系中,已知圆,直线,为圆上一动弦,且.则()A.当实数变化时,圆最多能够经过3个象限B.存在,使得直线和圆相交C.的最小值是D.点到直线距离的最小值是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若平面单位向量,,满足,则___________.14.写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有、、中的两个;②存在一个极值点.15.在平面直角坐标系中,椭圆的左右焦点分别为、,与轴垂直的直线经过,交于、两点,记.若内切圆的半径为,则的离心率为___________.16.在四面体中,是边长为2的等边三角形,平面,且,则点到平面的距离是___________;动点、分别在线段(含端点)上和所在平面中运动,满足.记的外心为,则的取值范围是___________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,,,分别为,,所对的边,,,.(1)求;(2)若,求的面积.18.已知数列满足:,.(1)若是常数列,求;(2)已知.(i)证明:是等比数列;(ii)设,求数列的前项和.19.如图,在圆锥中,的内接为等边三角形,,且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.(1)证明:;(2)点是底面上的一个动点,,求二面角余弦值的最小值.20.近日,河南突降暴雨,郑州、驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示,各地迅速向河南伸出援手,体现了“一方有难,八方支援”人间真情.降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内,大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期(年)具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择:①根据与成正相关关系,直接采用线性回归模型;②根据与成正相关关系,且考虑模型拟合曲线的增减速率,采用回归模型.,相关数据统计如下表(其中);,,,,,,(1)请选择合适的回归模型,求出暴雨强度、降雨历时、降雨重现期(年)具有的函数关系;(2)已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用(1)得到的函数关系,分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性,(参考数据:,)附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.21.设函数.(1)当时,证明:;(2)已知恰好有3个极值点,,.(i)求实数的取值范围;(ii)证明:.22.在平面直角坐标系中,双曲线,左顶点到右焦点的距离是,且的离心率是.(1)求双曲线的标准方程;(2)点是上位于第一象限的一点,点、关于原点对称,点、关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.(i)求的取值范围;(ii)证明:不可能是三等分线.湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试数学答案版一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位,复数满足,则()A.B.C.D.答案:A2.若抛物线上一点到焦点的距离为8,则()A.1B.2C.4D.8答案:C3.已知、是全集的两个非空子集.若,则下列说法可能正确的是()A.B.C.D.答案:D4.如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史,它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算,其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器,表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例,解释算表的大致原理:,①将22分为2和20;将35分为5和30;②在算表第1行分别找到2和20;在算表第1列找到5和30;③分别在算表中找到2和5、30及20和5、30的交叉点所对应的数字;④将4个对应的数字相加,得.×21020510…10010………3060…600如果从现代数学体系来看,该计算方法所利用的公理是()A.加法交换律B.乘法分配律C.加法结合律D.乘法交换律答案:B5.若,则的值为()A.1或B.或C.或D.或答案:D,6.已知随机变量,则下列说法不正确的是()A.若,则B若,则C.不论取何值,总成立D.根据“原则”,在一次试验中,事件“”几乎不可能发生答案:D7.已知数列,设:,,三项既是等差数列,又是等比数列;:是常数列.则是的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C8.设定义在上的连续偶函数满足,且当时,.若函数恰好有5个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案:B二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于一组样本数据,,…,,下列表达式中,能够刻画该组数据的离散程度的是()注:;和分别表示,,…,中的最大值和最小值.,A.B.C.D.答案:AC10.已知,,且,则()A.B.C.D.答案:ABD11.在正方体中,,点为正方形内部一点,点为棱中点,平面.则()A.异面直线和夹角的余弦值为B.点和点到平面的距离相等C.正方体被平面截得的截面为等腰梯形D.三棱锥外接球的半径为答案:BC12.在平面直角坐标系中,已知圆,直线,为圆上一动弦,且.则(),A.当实数变化时,圆最多能够经过3个象限B.存在,使得直线和圆相交C.的最小值是D.点到直线距离的最小值是答案:D三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若平面单位向量,,满足,则___________.答案:14.写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有、、中的两个;②存在一个极值点.答案:或(答案不唯一)15.在平面直角坐标系中,椭圆的左右焦点分别为、,与轴垂直的直线经过,交于、两点,记.若内切圆的半径为,则的离心率为___________.答案:16.在四面体中,是边长为2的等边三角形,平面,且,则点到平面的距离是___________;动点、分别在线段(含端点)上和所在平面中运动,满足.记的外心为,则的取值范围是___________.答案:①.;②.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.,17.在中,,,分别为,,所对的边,,.(1)求;(2)若,求的面积.答案:(1);(2).18.已知数列满足:,.(1)若是常数列,求;(2)已知.(i)证明:是等比数列;(ii)设,求数列的前项和.答案:(1)或1;(2)(i)证明见解析;(ii).19.如图,在圆锥中,的内接为等边三角形,,且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.(1)证明:;(2)点是底面上的一个动点,,求二面角余弦值的最小值.答案:(1)证明见解析;(2)最小值是.20.近日,河南突降暴雨,郑州、驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示,各地迅速向河南伸出援手,体现了“一方有难,八方支援”人间真情.,降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内,大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期(年)具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择:①根据与成正相关关系,直接采用线性回归模型;②根据与成正相关关系,且考虑模型拟合曲线的增减速率,采用回归模型.相关数据统计如下表(其中);,,,,,,(1)请选择合适的回归模型,求出暴雨强度、降雨历时、降雨重现期(年)具有的函数关系;(2)已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用(1)得到的函数关系,分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性,(参考数据:,)附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.答案:(1);(2)答案见解析.,21.设函数.(1)当时,证明:;(2)已知恰好有3个极值点,,.(i)求实数的取值范围;(ii)证明:.答案:(1)证明见解析;(2)(i);(ii)证明见解析.22.在平面直角坐标系中,双曲线左顶点到右焦点的距离是,且的离心率是.(1)求双曲线的标准方程;(2)点是上位于第一象限的一点,点、关于原点对称,点、关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.(i)求的取值范围;(ii)证明:不可能是三等分线.答案:(1);(2)(i);(ii)证明见解析.
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